Question

如圖，以正方形 ABCD的一邊向形外作等邊三角形CDE，AC與BE交于F，則圖中與∠AFD（包括∠AFD）相等的角的個數(shù)有（　　）

A．5

B．6

C．7

D．8

Answer 1

分析：由正方形及等邊三角形的邊長相等，且DD為兩圖形的公共邊，得到AD=AB=CD=AD=CE=DE，且正方形的四個角都為直角，等邊三角形的三內(nèi)角都為60°，且由正方形的對角線平分一組對角，得到∠BAF=∠DAF，利用SAS可證明三角形ABF與三角形ADF全等，從而得到∠AFB=∠AFD，然后由∠BCD為直角，∠DCE為60°的角求出∠BCE的度數(shù)，根據(jù)BC=EC，求出∠CBE的度數(shù)，由三角形的外角性質(zhì)得到∠AFB為60°，∠AFB=∠AFD=60°，根據(jù)平角定義得到∠DFE也為60°，再利用對頂角相等得到∠CFE也為60°，最后加上等邊三角形的三內(nèi)角都為60°，得到所有與∠AFD（包括∠AFD）相等的角的個數(shù)即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，三角形DCE為等邊三角形，
∴AB=BC=CD=AD=DE=CE，∠BCD=90°，∠BAF=∠DAF=45°，∠DCE=∠DEC=∠CDE=60°，
在△ABF與△ADF中，

AD=AB ∠BAF=∠DAF AF=AF

，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠AFD=∠AFB，
∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，
∴∠CBE=15°，
∵∠ACB=45°，
∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°，
∴∠AFD=∠AFB=60°，
∴∠EFD=60°，且∠AFB=∠EFC=60°（對頂角相等），
則圖中與∠AFD（包括∠AFD）相等的角有：
∠DCE，∠DEC，∠CDE，∠AFD，∠DFE，∠AFB，∠EFC，共7個．
故選C

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，外角性質(zhì)，以及對頂角的性質(zhì)，借助圖形，靈活運用性質(zhì)求出∠AFD的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．本題還要注意答案要找全，不能漏解．