Question

（2012•撫順）如圖，AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)弦BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若⊙O的半徑為6，∠BAC=60°，延長(zhǎng)ED交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據(jù)三角形的中位線得出OD∥AC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出∠DOF=60°，∠F=30°，求出DF，根據(jù)陰影部分的面積等于三角形ODF的面積減去扇形DOB的面積，分別求出后代入即可．

解答：（1）
直線DE與⊙O的位置關(guān)系是相切，
證明：連接OD，
∵AO=BO，BD=DC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
直線DE是⊙O的切線，
即直線DE與⊙O的位置關(guān)系是相切；

（2）解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，
∴∠DOB=∠A=60°，
∵DE是⊙O切線，
∴∠ODF=90°，
∴∠F=30°，
∴FO=2OD=12，
由勾股定理得：DF=6

3

，
∴陰影部分的面積S=S_△ODF-S_扇形DOB=

1

2

×6×6

3

-

60π×62

360

=18

3

-6π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，扇形的面積，三角形的面積，三角形的中位線等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用．