Question

（2012•撫順）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．點(diǎn)D是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，并以AD為邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E恰好在線段BC上時(shí)，請(qǐng)判斷線段DE和BE的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖①證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)E不在直線BC上時(shí)，連接BE，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖②給予證明；若不成立，請(qǐng)直接寫出新的結(jié)論；
（3）若AC=3，點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)的過程中，是否存在以A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？如果存在，直接寫出線段CD的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定解答即可；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，證得△ADC≌△AEF，結(jié)合直角三角形中30度的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半解決問題；
（3）從A、C、D、E為頂點(diǎn)的梯形的性質(zhì)入手，逐步找出解決問題的方案．

解答：解：（1）DE=BE． 理由如下：
∵△ADE為等邊三角形，
∴AD=DE=AE，∠AED=60°．
∵∠ABC=30°，∠AED=∠ABC+∠EAB，
∴∠EAB=60°-30°=30°，
∴∠ABC=∠EAB，
∴EB=AE，
∴EB=DE；

（2）如圖，

過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，
在△ABC中，∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠DAE=∠CAB，
∴∠DAE-∠CAE=∠BAC-∠CAE，
則∠CAD=∠EAF．
又∵AD=AE，∠ACD=∠AFE，
∴△ADC≌△AEF，
∴AC=AF．
在△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC=

1

2

AB，
∴AF=BF，
∴EA=EB，
∴DE=EB；

（3）如圖，

∵四邊形ACDE是梯形，∠ACD=90°，
∴∠CAE=90°．
∵∠CAE=∠CAD+∠EAD，
又在正三角形ADE中，∠EAD=60°，
∴∠CAD=30°．
在直角三角形ACD中，AC=3，∠CAD=30°，
由勾股定理可得CD=

3

．
若點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，AC平行DE，此時(shí)CD=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，梯形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．