Question

如圖，已知點(diǎn)A（2，4）在反比例函數(shù)的圖象S₁上，將雙曲線S₁沿y軸翻折后得到的是反比例函數(shù)的圖象S₂，直線AB交y軸于點(diǎn)B（0，3），交x軸于點(diǎn)C，P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B、C不重合），過(guò)P作x軸的垂線與雙曲線S₂在第二象限相交于點(diǎn)E．
（1）求雙曲線S₂和直線AB的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，線段PE的長(zhǎng)為h，求h與m之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；
（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得P、E、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（2，4）在的圖象上，則k=8，
∴雙曲線S₂的解析式為，
設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b，
則，
∴；
∴；

（2）由（1）可設(shè)P（m，），
又PE⊥x軸，則E點(diǎn)的橫坐標(biāo)與P點(diǎn)相同為m，
點(diǎn)E在雙曲線S₂上，
∴y_E=，即E（m，），
∴h=y_E-y_P=-（-6＜m＜0）；

（3）分兩種情況：
①若△AEP∽△COB，如圖1，
此時(shí)，∠AEP=∠COB=90°，即AE⊥EP，
則y_E=y_A=4，x_E=-2；
∴E（-2，4）；
又EP⊥x軸，則x_P=x_E=-2，
y_P=x_P+3=×（-2）+3=2；
∴P（-2，2）；
②若△EAP∽△COB，如圖2，
此時(shí)∠EAP=∠COB=90°，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥EP于F，
則有△EFA∽△COB，
∴；
對(duì)于直線y=；
當(dāng)y=0時(shí)，x=-6，
則C（-6，0）；
∴OC=6；
又P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，），則E（m，），F(xiàn)（m，4），
∴EF=，AF=2-m；
可得：，解得：m²-4m-4=0；
∴m₁=2-2，m₂=2+2；
∴m=2-2；
∴
∴．
綜上所述，存在點(diǎn)P（-2，2）或（2-2，4-），使得以P、E、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．

分析：（1）由A點(diǎn)坐標(biāo)易求k值，再根據(jù)翻折的特點(diǎn)求出雙曲線S₂的解析式；根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線解析式；
（2）根據(jù)PE=E點(diǎn)縱坐標(biāo)-P點(diǎn)縱坐標(biāo)，求h與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）△BOC為直角三角形，而∠EPA不是直角，所以另外兩個(gè)角可能是直角，分兩種情形討論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定，要注意（3）在相似形中需根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系分情形討論．