Question

如圖1，在△ABC中，AB=BC，P為AB邊上一點，連接CP，以PA、PC為鄰邊作?APCD，AC與PD相交于點E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）求證：∠EAP=∠EPA；
（2）?APCD是否為矩形？請說明理由；
（3）如圖2，F(xiàn)為BC中點，連接FP，將∠AEP繞點E順時針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌龋�得到∠MEN（點M、N分別是∠MEN的兩邊與BA、FP延長線的交點）．猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB=BC可證∠CAB=∠ACB，則在△ABC與△AEP中，有兩個角對應(yīng)相等，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可證得；
（2）由（1）知∠EPA=∠EAP，則AC=DP，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可證明；
（3）可以證明△EAM≌△EPN，從而得到EM=EN．

解答：（1）證明：在△ABC和△AEP中，
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，
∴∠ACB=∠APE，
在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠EPA=∠EAP．

（2）解：?APCD是矩形．理由如下：
∵四邊形APCD是平行四邊形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
則AC=PD，
∴?APCD是矩形．

（3）解：EM=EN．
證明：∵EA=EP，
∴∠EPA=

180°-∠AEP

2

=

180°-∠ABC

2

=90°-

1

2

α，
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°-

1

2

α）=90°+

1

2

α，
由（2）知∠CPB=90°，F(xiàn)是BC的中點，
∴FP=FB，
∴∠FPB=∠ABC=α，
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-

1

2

α+α=90°+

1

2

α，
∴∠EAM=∠EPN，
∵∠AEP繞點E順時針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌�，得到∠MEN，
∴∠AEP=∠MEN，
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN，即∠MEA=∠NEP，
在△EAM和△EPN中，

∠EAM=∠EPN EA=EP ∠MEA=∠NEP

∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM=EN．

點評：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及矩形的判定方法，在旋轉(zhuǎn)中找到題目中存在的相等的線段以及相等的角是解決本題的關(guān)鍵．