Question

如圖，已知⊙O的半徑為1，弦AB、CD的長度分別為

2

和1，則弦AC、BD所夾的銳角∠AEB的度數(shù)為

75°

．

Answer 1

分析：根據(jù)勾股定理的逆定理可證△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB=∠OBA=45°，又由已知可證△COD是等邊三角形，所以∠ODC=∠OCD=60°，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可證∠CDB=∠CAB，而∠ODB=∠OBD，所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得銳角∠AEB的度數(shù)．

解答：解：連接OA、OB、OC、OD，
∵OA=OB=OC=OD=1，AB=

2

，CD=1，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等邊三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，
∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，
∴∠AEB=180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-（∠CDB+∠ODB）=180°-45°-60°=75°．
故答案為：75°．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理的逆定理，圓周角的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．