Question

已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為（即cosC=），則AC邊上的中線長是    ．

Answer 1

【答案】分析：分兩種情況：①△ABC的內角∠ABD=45°；②△ABC的外角∠ABD=45°．這兩種情況，都可以首先作△ABC的高AD，解直角△ACD與直角△ABD，得到BC的長，再利用余弦定理求解．
解答：解：分兩種情況：
①如圖1．
作△ABC的高AD，BE為AC邊的中線．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=BD+CD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC
=a²+a²-2×a×a×
=a²，
∴BE=a；
②如圖2．
作△ABC的高AD，BE為AC邊的中線．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=CD-BD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE²=BC²+EC²-2BC•EC•cosC
=a²+a²-2×a×a×
=a²，
∴BE=a．
綜上可知AC邊上的中線長是a或a．
故答案為a或a．
點評：本題考查了解直角三角形，勾股定理，余弦定理，有一定難度，進行分類討論是解題的關鍵．