Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在軸上，點(diǎn)，線(xiàn)段，線(xiàn)段，且，與軸的交點(diǎn)為，連接．

（1）如圖1，在線(xiàn)段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（在上方），且，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的值最小時(shí)，求出的坐標(biāo)及的面積．

（2）沿軸平移，當(dāng)點(diǎn)平移到邊上時(shí)，平移后的，在軸上一動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，使點(diǎn)形成的四邊形為菱形，若存在直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（，-3），的面積=2；（2）（12，-2）或（8，2）或（8+4，-2）

【解析】

（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OE=2，由勾股定理得BE=4，得出∠ABE=30°，∠EBC=90°，作點(diǎn)F關(guān)于EB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，過(guò)H作HP⊥CD于P，交BE于K，交AB于M，則KH=KF，HP的長(zhǎng)即KF+KP 的最小值，此時(shí)的值最小，由（在上方），且可得出此時(shí)點(diǎn)G于點(diǎn)B重合，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出HP、HM、HK、MK、MG的長(zhǎng)，即可解答本題；

（2）沿軸平移，當(dāng)點(diǎn)平移到邊上時(shí)，平移后的中與B重合，分三種情況：①為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，②為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，③為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，分別畫(huà)出圖形，利用菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)一一求解即可．

解：（1）由題意得OA=2，則OB=6，

∵，

∴∠AEO=30°，OE=2，

Rt△OBE中，BE==4，

∴∠ABE=30°，

∵，，

∴∠ABC=180°-∠BAD =120°，∠C=60°，AD=BC=6

∴∠EBC=90°，EB⊥BC，

作點(diǎn)F關(guān)于EB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，過(guò)H作HP⊥CD于P，交BE于K，交AB于M，則KH=KF，HP的長(zhǎng)即KF+KP 的最小值，此時(shí)的值最小，

∵ HP⊥CD，∠C=60°

∴∠H=30°

∵點(diǎn)為中點(diǎn)，BC=6，點(diǎn)F關(guān)于EB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，

∴HG=3，CH=9，

在Rt△CPH，Rt△HBK，Rt△HBM中，

HP=，，KH=2，BM=，HM=，

∴MP=HP-HM=3，OM=OB-BM=，MK=HK-HM=，

∴P的坐標(biāo)（，-3）；

∵線(xiàn)段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（在上方），且，，

∴此時(shí)點(diǎn)G于點(diǎn)B重合，

∴的面積=AGKM=×8×=2；

胡答案為：P（，-3），的面積=2；

（2）①如圖，為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，作NH⊥AB與H，由題意得A1B1=8，E1B1=4，∠B1A1E1=60°，∠A1B1E1=30°，E1A1=4，

∵菱形

∴∠A1B1N=60°，∠A1ME1=∠MA1E1=60°，

∴ME1= A1E1=B1N=4，

∴HB1=2，HN=2，

∴OH=OB1-HB1=12，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)（12，-2）；

②為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，

∵菱形

∴∠E1B1N=60°，NE1=B1E1=4， HE1=HN=2，

∴HB1=6，

∴OH=OB1-HB1=8，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)（8，2）；

為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，作NH⊥AB與H，

由題意得∠B1MN=30°，MN=B1E1=B1M=4，

∴HM=6，HN=2，

∴B1H=4-6，

∴OH=OB1+HB1=14+（4-6）=8+4，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)（8+4，-2）．

故點(diǎn)的坐標(biāo)為：（12，-2）或（8，2）或（8+4，-2）．