Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），作直線BC．動(dòng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時(shí)，求m的值；

（3）當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以OC為一邊的平行四邊形時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x+3;(2)m=2;(3)

【解析】試題分析：

（1）把點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3）代入拋物線y=﹣x2+bx+c列出方程組求得b、c的值即可得到拋物線的解析式，在所得拋物線的解析式中，由y=0可得關(guān)于x的一元二次方程，解方程可求得B的坐標(biāo)；有B、C的坐標(biāo)用“待定系數(shù)法”可求得直線BC的解析式；

（2）由△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形可得，CM∥x軸，由點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，3）可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3，把y=3代入拋物線的解析式解得x的值即可得到m的值；

（3）由已知把M、N的坐標(biāo)用含“m”的代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，進(jìn)一步表達(dá)出MN的長(zhǎng)，根據(jù)題意可得MN=OC=3即可列出關(guān)于“m”的方程，解方程即可求得m的值.

試題解析：

（1）把點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3）代入拋物線y=﹣x2+bx+c，得，解得 ，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把C（0，3），B的坐標(biāo)（3，0）代入，得，解得： ，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

（2）∵△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形，

∴CM∥x軸，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3，

把y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x=0或2，

∵點(diǎn)M不能與點(diǎn)C重合，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m=2．

（3）∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，P的橫坐標(biāo)為m

∴M（m，﹣m2+2m+3），

∵直線BC的解析式為y=﹣x+3．

∴N（m，﹣m+3），

∵以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以OC為一邊的平行四邊形，

∴MN=OC=3，

∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，化簡(jiǎn)得m2﹣3m+3=0，無(wú)解，

或（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）=3，化簡(jiǎn)得m2﹣3m﹣3=0，

解得m=，

∴當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以OC為一邊的平行四邊形時(shí)，m的值為．