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        1. 如圖,在直角梯形ABCD中,DCAB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,點E、F分別是腰AD、BC上的動點,點G在AB上,且四邊形AEFG是矩形.設FG=x,矩形AEFG的面積為y.
          (1)求y與x之間的函數(shù)關式,并寫出自變量x的取值范圍;
          (2)在腰BC上求一點F,使梯形ABCD的面積是矩形AEFG的面積的2倍,并求出此時BF的長;
          (3)當∠ABC=60°時,矩形AEFG能否為正方形?若能,求出其邊長;若不能,請說明理由.
          (1)過C作CH⊥AB于H.
          在直角梯形ABCD中,DCAB,∠ADC=90°,
          ∴四邊形ADCH為矩形.
          ∴CH=AD=2,BH=AB-CD=3a-2a=a.
          在Rt△BCH中,tanB=
          CH
          BH
          =
          2
          a

          ∵四邊形AEFG是矩形,∴∠FGA=90°=∠FGB,且FG=x.
          ∴在Rt△FGB中,tanB=
          FG
          BG
          =
          x
          BG

          2
          a
          =
          x
          BG
          ,即BG=
          a
          2
          x,∴AG=3a-0.5ax.
          ∵S矩形AEFG=FG×AG,
          ∴y=x(3a-
          a
          2
          x)=-
          a
          2
          x2+3ax(0<x≤2).…(4分)

          (2)∵S梯形ABCD=
          1
          2
          (AB+CD)×AD=
          1
          2
          (3a+2a)×2=5a,
          令2(-
          a
          2
          x2+3ax)=5a,解得x1=1,x2=5.
          ∵0<x≤2,∴x=5(舍去).
          ∴x=1,此時F為BC中點.
          ∴BF=
          1
          2
          BC=
          1
          2
          CH2+BH2
          =
          1
          2
          4+a2
          .…(3分)

          (3)矩形AEFG不能成為正方形.
          假設矩形AEFG能成為正方形,則有FG=AG.
          ∴x=3a-
          a
          2
          x.
          ∵∠ABC=60°,則tanB=
          2
          a
          =
          3
          ,∴a=
          2
          3
          3

          ∴x=
          3a
          1+
          a
          2
          =3
          3
          -3>2.
          又∵0<x≤2,∴矩形BEFG不能成為正方形.…(3分)
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          2
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          3
          2

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          A.4-
          3
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          3
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          (2)若Rt△CEF繞點C順時針旋轉任意角度(如圖2),其他條件不變.(1)中的結論是否仍然成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由.

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