Question

如圖，D是射線AB上一點，過點D作DE∥AC，交∠BAC平分線于點E，過點D作DF⊥AE，垂足為F，DF交AC于點G．
（1）按要求在所給圖中將圖形補全，然后判斷四邊形ADEG的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）標(biāo)出有向線段

AD

、

AF

、

AG

，記向量

AD

=

a

、

AF

=

b

，試用

a

，

b

表示向量

AG

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)同位角相等，即可得DE∥AC；在作出∠BAC平分線，在作DF⊥AE，連接各點即可；根據(jù)已知易證AD=DE，AD=AG，又由DE∥AC，即可證得平行四邊形ADEG為菱形；
（2）由菱形的性質(zhì)與向量的意義，即可求得

AE

=2

b

，繼而求得向量

AG

的值．

解答：解：（1）四邊形ADEG為菱形．
證明：∵DE∥AC，
∴∠DEA=∠EAC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DA=DE，
∵DF⊥AE，
∴AF=EF；
在△ADF和△AGF中，∠DAE=∠EAC，AF=AF，∠DFA=∠GFA=90°，
∴△ADF≌△AGF；
∴DF=GF，
∴四邊形ADEG為平行四邊形；
∵DF⊥AE，
∴平行四邊形ADEG為菱形；

（2）∵

AD

=

a

，

AF

=

b

，四邊形ADEG為菱形，
根據(jù)題意，得：

AE

=2

b

，
∴

DE

=

AE

-

AD

=2

b

-

a

，
∴

AG

=

DE

=-

a

+

2b

．

點評：此題考查了學(xué)生的基本作圖，以及菱形的判定定理和向量的知識．此題綜合性很強，解題時要注意分析與識圖．