Question

23、如圖，已知∠XOY=90°，正△PAB的頂點P與O點重合，頂點A是射線OX上的一個定點，另一頂點B在∠XOY的內部．
（1）當頂點P在射線OY上移動到點P₁時，連接AP₁，請用尺規(guī)作圖∠XOY內部作出以AP₁為邊的正三角形（要求：保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（2）設AP₁交OB于點C，AB的延長線交B₁P₁于點D．求證：△ABC∽△AP₁D；
（3）連接BB₁，求∠ABB₁的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）分別以A、P1為圓心，AP₁長為半徑畫弧，兩弧交于B₁點，△AP₁B₁即為所求；
（2）欲證△ABC∽△AP₁D，必須有兩組角相等，∠BAC=∠P₁AD為一個公共角，又因為△PAB和△P₁AB₁都是正三角形，所以有∠ABC=∠AP₁D=60°所以△ABC∽△AP₁D；
（3）有（1）（2）可知AO=AB，AP₁=AB₁，∠PAB=∠P₁AB₁=60°，所以有∠OAP₁=∠BAB₁=60°-∠CAB，因此根據(jù)邊角邊公式可證△OAP₁≌△BAB₁，因此可得∠ABB₁=∠AOP₁=90°

解答：解：（1）如圖．
圖形正確（1分）痕跡正確（2分）

（2）證明：∵△PAB和△P₁AB₁都是正三角形，
∴∠ABC=∠AP₁D=60°．（1分）
∵∠BAC=∠P₁AD，
∴△ABC∽△AP₁D．（2分）

（3）∵△O（P）AB和△P₁AB₁都是正三角形，
∴AO=AB，AP₁=AB₁，∠PAB=∠P₁AB₁=60°．
∴∠OAP₁=∠BAB₁=60°-∠CAB．
∴△OAP₁≌△BAB₁．（3分）
∴∠ABB₁=∠AOP₁=90°．（1分）

點評：此題主要考查了相似的判定以及等邊三角形的一些基本性質．