Question

閱讀下列材料：
小明遇到一個問題：如圖1，正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD和DA邊上靠近A、B、C、D的n等分點，連接AF、BG、CH、DE，形成四邊形MNPQ．求四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比（用含n的代數(shù)式表示）．
小明的做法是：
先取n=2，如圖2，將△ABN繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90゜至△CBN′，再將△ADM繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90゜至△CDM′，得到5個小正方形，所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是

1

5

；
請你參考小明的做法，解決下列問題：
（1）取n=3，如圖3，四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為

 

（直接寫出結(jié)果）；
（2）在圖4中探究，n=4時四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為

 

（在圖4上畫圖并直接寫出結(jié)果）；
（3）猜想：當E、F、G、H分別是AB、BC、CD和DA邊上靠近A、B、C、D的n等分點時，四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為

 

（用含n的代數(shù)式表示）；
（4）圖5是矩形紙片剪去一個小矩形后的示意圖，請你將它剪成三塊后再拼成正方形（在圖5中畫出并指明拼接后的正方形）．

Answer 1

分析：（1）查出旋轉(zhuǎn)后的正方形的個數(shù)是10，中間四邊形中正方形的個數(shù)是4，然后計算即可求解；
（2）根據(jù)四等分點再找出其它的等分點，仿照圖3的作法畫出圖形，然后再查出旋轉(zhuǎn)后的正方形的個數(shù)是17，中間四邊形中正方形的個數(shù)是9，然后計算即可求解；
（3）根據(jù)前四個圖形的數(shù)據(jù)規(guī)律，分子是序數(shù)減1，再平方，分母是序數(shù)的平方再加上1，寫出即可；
（4）根據(jù)面積是10，所以拼接后的正方形的邊長是

10

，然后根據(jù)網(wǎng)格的特點進行剪接．

解答：解：（1）正方形ABCD的面積是10個小正方形，四邊形MNPQ是4個小正方形，
∴四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為：

4

10

=

2

5

；（2分）

（2）如圖1．（3分）
正方形ABCD的面積是17個小正方形，四邊形MNPQ是9個小正方形，
∴四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為：

9

17

；（5分）

（3）正方形ABCD的面積是n²+1個小正方形，四邊形MNPQ是（n-1）²個小正方形，
∴四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為：

(n-1)2

n2+1

；（7分）

（4）如圖2．（8分）
設(shè)每個小正方形的面積是1，圖形面積是10，
所以拼接后的正方形的邊長是

10

，
∴拼接后的正方形的是正方形ABCD．（9分）

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及設(shè)計作圖，難度不大，讀懂題目提供的信息是解題的關(guān)鍵．