Question

（2012•大興區(qū)一模）閱讀下列材料：
小明遇到一個(gè)問題：已知：如圖1，在△ABC中，∠BAC=120°，∠ABC=40°，試過△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)畫一條直線，將此三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．
他的做法是：如圖2，首先保留最小角∠C，然后過三角形頂點(diǎn)A畫直線交BC于點(diǎn)D．將∠BAC分成兩個(gè)角，使∠DAC=20°，△ABC即可被分割成兩個(gè)等腰三角形．
喜歡動(dòng)腦筋的小明又繼續(xù)探究：當(dāng)三角形內(nèi)角中的兩個(gè)角滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，此三角形一定可以被過頂點(diǎn)的一條直線分割成兩個(gè)等腰三角形．
他的做法是：如圖3，先畫△ADC，使DA=DC，延長AD到點(diǎn)B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB=∠ABC，因?yàn)椤螩DB=2∠A，所以∠ABC=2∠A．于是小明得到了一個(gè)結(jié)論：
當(dāng)三角形中有一個(gè)角是最小角的2倍時(shí)，則此三角形一定可以被過頂點(diǎn)的一條直線分割成兩個(gè)等腰三角形．
請你參考小明的做法繼續(xù)探究：當(dāng)三角形內(nèi)角中的兩個(gè)角滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，此三角形一定可以被過頂點(diǎn)的一條直線分割成兩個(gè)等腰三角形．請直接寫出你所探究出的另外兩條結(jié)論（不必寫出探究過程或理由）．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)一個(gè)角等于另一個(gè)角的3倍時(shí)，把3倍的角分出一個(gè)與較小的角相等，還剩下2倍，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得另一個(gè)三角形有兩個(gè)2倍的角，這樣就分成了兩個(gè)等腰三角形；
（2）當(dāng)一個(gè)三角形的兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角，把直角分成與另兩個(gè)角相等的兩個(gè)角即可．

解答：解：如圖1，∠BAC=3∠C，作AD使∠CAD=∠C，
則∠BAD=∠BAC-∠CAD=2∠C，
又∠ADB=∠CAD+∠C=2∠C，
所以，△ACD與△ABD都是等腰三角形；
如圖2，∠A+∠B=90°，
則∠ACB=180°-90°=90°，
作CD，使∠ACD=∠A，
則∠BCD=90°-∠ACD=90°-∠A=∠B，
即∠BCD=∠B，
所以，△ACD與△BCD都是等腰三角形．

結(jié)論1：當(dāng)三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍時(shí)，則此三角形一定可以被過頂點(diǎn)的一條直線分割成兩個(gè)等腰三角形；
結(jié)論2：當(dāng)三角形中的兩個(gè)內(nèi)角互余時(shí)，則此三角形一定可以被過頂點(diǎn)的一條直線分割成兩個(gè)等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，讀懂題目提供的材料，明確把一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形的方法是解題的關(guān)鍵．