Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90^o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F(xiàn)點(diǎn)以2cm／秒的速度在線段AB上由A向B勻速運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)同時(shí)以1cm／秒的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<5)．

（1）求證：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的長(zhǎng)；
（3）設(shè)四邊形AFEC的面積為y，求y 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值．

Answer 1

（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一組直角，即可證得所求的三角形相似；（2）；（3）y的最小值為19

試題分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一組直角，即可證得所求的三角形相似；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的長(zhǎng)，根據(jù)（1）題所得相似三角形的比例線段，即可求出DC的長(zhǎng)；
（3）分析圖象可知：四邊形AFEC的面積可由△ABC、△BEF的面積差求得，分別求出兩者的面積，即可得到y(tǒng)、t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最小值．
（1）∵CD∥AB
∴∠BAC=∠DCA 
又∵AC⊥BC，∠ACB=90^o 
∴∠D="∠ACB=" 90^o   
∴△ACD∽△BAC；
（2） 
∵△ACD∽△BAC
∴ ，即，解得：
（3）過點(diǎn)E作AB的垂線，垂足為G，

 
∴△ACB∽△EGB 
∴  即，解得 
 = =
故當(dāng)t=時(shí)，y的最小值為19
點(diǎn)評(píng)：三角形相似是考察的重點(diǎn)，考生要學(xué)會(huì)分析三角形相似的基本性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)和圖形的結(jié)合是常考點(diǎn).