Question

（2012•武漢模擬）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處．
（1）如圖1，若折痕AE=5

5

，且tan∠EFC=

3

4

，求矩形ABCD的周長；
（2）如圖2，在AD邊上截取DG=CF，連接GE，BD，相交于點H，求證：BD⊥GE．

Answer 1

分析：（1）設EC=3k，則FC=4k，EF=5k，然后判斷出∠BAF=∠EFC，利用三角函數的知識表示出BF、AF，結合AE的長，在RT△AFE中利用勾股定理可求出矩形ABCD的邊長，繼而可得出周長．
（2）根據題意可得GD=FC，DE=EF，然后表示出cos∠EFC，及cos∠BAF，根據∠BAF=∠EFC，可得出一對相等的比例關系，繼而可判斷出△DBA∽△EGD，得出∠DBA=∠EGD，然后利用等角代換可確定結論．

解答：解：（1）設EC=3k，由tan∠EFC=

3

4

，則FC=4k，EF=5k，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC=8k，
∵∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=

3

4

，
∴BF=6k，AF=10k，
在RT△AFE中，AF²+EF²=AE²，AE=5

5

，
∴100k²+25k²=（5

5

）²，
解得：k=1，
∴AB=DC=8，BC=AD=AF=10，
所以矩形ABCD的周長為36．

（2）∵GD=FC，DE=EF，
∴cos∠EFC=

FC

EF

=

DG

DE

，
∵cos∠BAF=

AB

AF

=

AB

AD

，∠BAF=∠EFC，
∴

DG

DE

=

AB

AD

，
∴△DBA∽△EGD，
∴∠DBA=∠EGD，
∵∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，
∴∠GHD=90°，
故可得BD⊥GE．

點評：此題考查了翻折變換及相似三角形的判定與性質，綜合的知識點較多，解答第一問要求我們能根據三角函數值正確表示出三角形的各邊長，第二問要求我們熟練相似三角形的判定定理，及相似三角形的性質．