Question

如圖，在平面直角坐標系中，一拋物線的對稱軸為直線x=1，與y軸負半軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，其中B點的坐標為（3，0），且OB=OC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積．
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點（其中點M在點N的右側），在x軸上是否存在點Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），根據已知得到C（0，-3），A（-1，0），代入得到方程組

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，求出方程組的解即可；
（2）過點P作y軸的平行線與AG交于點F，求出點G的坐標（2，-3），設直線AG為y=kx+n（k≠0），代入得到

-k+n=0 2k+n=-3

，求出方程組的解得出直線AG為y=-x-1，設P（x，x²-2x-3），則F（x，-x-1），PF=-x²+x+2，根據三角形的面積公式求出△APG的面積，化成頂點式即可；
（3）存在．根據MN∥x軸，且M、N在拋物線上，得到M、N關于直線x=1對稱，設點M為（m，m²-2m-3）且m＞1，得到MN=2（m-1），當∠QMN=90°，且MN=MQ時，由△MNQ為等腰直角三角形，得到2（m-1）=|m²-2m-3|，求出m的值，得出點M和點Q的坐標；當∠QNM=90°，且MN=NQ時，同理可求點Q的坐標，當∠NQM=90°，且MQ=NQ時，過Q作QE⊥MN于點E，則QE=

1

2

MN，根據拋物線及等腰直角三角形的軸對稱性，得到點Q的坐標．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
答：拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（2）過點P作y軸的平行線與AG交于點F，
由y=x²-2x-3，
令x=2，則y=-3，
∴點G為（2，-3），
設直線AG為y=kx+n（k≠0），
∴

-k+n=0 2k+n=-3

，
解得

k=-1 n=-1

，
即直線AG為y=-x-1，S_三角形APG
設P（x，x²-2x-3），則F（x，-x-1），PF=-x²+x+2，
∵S_三角形APG=S_三角形APF+S_三角形GPF
=

1

2

•（-x²+x+2）•（x+1）+

1

2

•（-x²+x+2）•（2-x）
=-

3

2

x²+

3

2

x+3，
∴當x=

1

2

時，△APG的面積最大，
此時P點的坐標為(

1

2

，-

15

4

)，S△APG的最大值為

27

8

，
答：當點P運動到（

1

2

，-

15

4

）位置時，△APG的面積最大，此時P點的坐標是（

1

2

，-

15

4

），△APG的最大面積是

27

8

．

（3）存在．
∵MN∥x軸，且M、N在拋物線上，
∴M、N關于直線x=1對稱，
設點M為（m，m²-2m-3）且m＞1，
∴MN=2（m-1），
當∠QMN=90°，且MN=MQ時，
△MNQ為等腰直角三角形，
∴MQ⊥MN即MQ⊥x軸，
∴2（m-1）=|m²-2m-3|，
即2（m-1）=m²-2m-3或2（m-1）=-（m²-2m-3），
解得m1=2+

5

，m2=2-

5

（舍）或m1=

5

，m2=-

5

（舍），
∴點M為（2+

5

，2+2

5

）或（

5

，2-2

5

），
∴點Q為（2+

5

，0）或（

5

，0），
當∠QNM=90°，且MN=NQ時，△MNQ為等腰直角三角形，
同理可求點Q為（-

5

，0）或（2-

5

，0），
當∠NQM=90°，且MQ=NQ時，△MNQ為等腰直角三角形，
過Q作QE⊥MN于點E，則QE=

1

2

MN=

1

2

×2(m-1)=|m2-2m-3|，
∵方程有解
∴由拋物線及等腰直角三角形的軸對稱性，
知點Q為（1，0），
綜上所述，滿足存在滿足條件的點Q，分別為（-

5

，0）或（

5

，0）或
（2+

5

，0）或（2-

5

，0）或（1，0），
答：存在，點Q的坐標分別為（-

5

，0）或（

5

，0）或（2+

5

，0）或（2-

5

，0）或（1，0）．

點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的三種形式，二次函數的最值，解二元一次方程組，三角形的面積，等腰直角三角形的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．題型較好，難度適中．