Question

已知：O為四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，將直角三角板的直角頂點(diǎn)與O點(diǎn)重合，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板使兩直角邊始終與BC、AB相交，交點(diǎn)分別為M、N．
（1）若ABCD為正方形，如圖①，猜想：線段OM與ON間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若ABCD為矩形，如圖②，且AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

（1）OM=ON．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠OAN=∠OBM=45°，∠AOB=90°，
∴∠AON+∠BON=90°，
∵∠BON+∠BOM=90°，
∴∠AON=∠BOM，
在△AON和△BOM中，
∵，
∴△AON≌△BOM（ASA），
∴OM=ON；

（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥BC于點(diǎn)F，
∵四邊形ABCD為矩形，AB=4，AD=6，
∴OE=AD=3，OF=AB=2，OE⊥OF，
∴∠EOM+∠FOM=90°，
∵∠EON+∠EOM=90°，
∴∠EON=∠FOM，
∵∠OEN=∠OFM=90°，
∴△FOM∽△EON，
∴OM：ON=OF：OE=2：3，
∵OM=x，ON=y，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=x．
分析：（1）由四邊形ABCD為正方形，易證得△AON≌△BOM，然后由全等三角形的性質(zhì)，證得OM=ON；
（2）首先過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥BC于點(diǎn)F，易證得△FOM∽△EON，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)．此題那難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．