Question

如圖（甲）所示，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，四邊形ACMF和四邊形BCNE是兩個(gè)正方形：如圖（乙），若把甲圖中的兩個(gè)正方形換成△ACM、△BCN都是等邊三角形．連結(jié)DE．
（1）試探究圖（甲）中AN與BM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）求證：AD=ME；（圖乙）
（3）求證：DE∥AB； （圖乙）
（4）求證：∠BON=60°．（圖乙）

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)BM交AN于點(diǎn)G，根據(jù)正方形的性質(zhì)就可以得出△BCM≌△NCA，就可以得出AN=BM，∠MGN=90°而得出結(jié)論；
（2）先由等邊三角形的性質(zhì)得出△ACN≌△MCB就可以得出∠CMB=∠CAN，再證明△MCE≌△ACD就可以得出結(jié)論；
（3）由（2）△MCE≌△ACD可以得出CE=CD，就可以得出△CDE是等邊三角形，就可以得出∠DEC=∠NCB而得出結(jié)論；
（4）由∠BON=∠AOM=∠NAB+∠ABM=∠CMB+∠CBM=∠ACM而得出結(jié)論．

解答：解：（1）AN=BM，AN⊥BM．
理由：延長(zhǎng)BM交AN于點(diǎn)G，
∵四邊形ACMF和四邊形BCNE是兩個(gè)正方形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACN=∠MCB=90°．
在△BCM和△NCA中，

AC=MC ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△BCM≌△NCA（SAS），
∴AN=BM，∠ANC=∠MBC．
∵∠MBC+∠CMB=90°，且∠GMN=∠CMB，
∴∠ANC+∠GMN=90°，
∴∠NGM=90°，
∴BG⊥AN，即AN⊥BM．

（2）∵△ACM、△BCN都是等邊三角形．
∴∠ACM=∠NCB=60°
∵∠ACM+∠NCB+∠MCN=180°，
∴∠MCN=60°．
∴∠ACM=∠MCN．
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，
∴∠ACN=∠MCB．
在△ACN和△MCB中，

AC=MC ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴∠CAN=∠CMB．
在△CAN和△CEM中，

∠CAN=∠CMB CA=CM ∠ACN=∠MCB

，
∴△CAN≌△CEM（SAS），
∴AD=ME；

（3）∵△CAN≌△CEM，
∴CD=CE．
∵∠MCN=60°，
∴△CDE為等邊三角形，
∴∠DEC=60°，
∴∠DEC=∠NCB，
∴DE∥AB；

（4）∵∠BON=∠AOM，且∠AOM=∠NAB+∠ABM，
∴∠BON=∠NAB+∠ABM．
∴∠BON=∠CMB+∠ABM．
∵∠CMB+∠ABM=∠ACM=60°，
∴∠BON=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的判定，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．