Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=-

3

4

x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿OB→BA方向運(yùn)動(dòng)，并同時(shí)到達(dá)點(diǎn)A．點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為1厘米/秒．
（1）求點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段BA上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（秒），△POQ的面積為y（平方厘米），那么用x的代數(shù)式表示AQ=

 

，并求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若將（2）中所得函數(shù)的自變量x的取值范圍擴(kuò)大到任意實(shí)數(shù)后，其函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M與該函數(shù)圖象和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)所組成的三角形面積等于△AOB的面積？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�(xiàn)y=-34x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，所以可求出A（8，0），B（0，6），進(jìn)而求出線(xiàn)段OA=8，0B=6，AB=10，利用速度=路程÷時(shí)間即可解決問(wèn)題；
（2）AQ=10+6-2X=16-2X，要求y與x的函數(shù)關(guān)系式，可作QE⊥x軸于點(diǎn)E，則QE∥y軸，得到△AQE∽△ABO，進(jìn)而可得到QE：6=AQ：AB，QE=

3

5

AQ；又因y=

1

2

•OP•QE代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求解；
（3）可設(shè)M（a，b），令y=0，則可求出函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)（0，0），（8，6），利用點(diǎn)M與該函數(shù)圖象和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)所組成的三角形面積等于△AOB的面積，可得到|b|×

1

2

×8=

1

2

×6×8，b=±6，然后分情況討論：當(dāng)b=6時(shí)，6=-

3

5

x 2+

24

5

x；所以x=4±

6

；當(dāng)b=-6時(shí)，-6=-

3

5

x 2+

24

5

x；所以x=4±

26

，所以M（4±

6

，6），（4±

26

，-6）．

解答：解：（1）∵直線(xiàn)y=-34x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴A（8，0），B（0，6）
∴OA=8，0B=6，AB=10
∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度=（6+10）÷（8÷1）=2厘米/秒；

（2）AQ=10+6-2X=16-2X，
作QE⊥x軸于點(diǎn)E，則QE∥y軸，
∴△AQE∽△ABO
∴QE：6=AQ：AB
∴QE=

3

5

AQ
∴y=

1

2

•OP•QE=

1

2

•x•

3

5

（16-2x）=-

3

5

x 2+

24

5

x；

（3）設(shè)M（a，b）
令y=0，則0=-

3

5

x 2+

24

5

x
∴x=0或x=8
即函數(shù)圖象與x軸交于（0，0），（8，6）
∵點(diǎn)M與該函數(shù)圖象和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)所組成的三角形面積等于△AOB的面積
∴|b|×

1

2

×8=

1

2

×6×8
∴b=±6
當(dāng)b=6時(shí)，6=-

3

5

x 2+

24

5

x，所以x=4±

6

；
當(dāng)b=-6時(shí)，-6=-

3

5

x 2+

24

5

x，所以x=4±

26

．
所以M（4±

6

，6），（4±

26

，-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用方程、相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．