Question

（2013•吉安模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AD與拋物線y=-x²+bx+c交于A（-1，0）和D（2，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、F分別為該拋物線與y軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)．
（1）試求b、c的值和拋物線頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）求△ADC的面積；
（3）已知，點(diǎn)Q是直線AD上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q與A、D不重合），在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有人說(shuō)點(diǎn)Q、F重合時(shí)△AQD的面積最大，你認(rèn)為其說(shuō)法正確嗎？若你認(rèn)為正確請(qǐng)求出此時(shí)△AQD的面積，若你認(rèn)為不正確請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出△AQD的最大面積．

Answer 1

分析：（1）把A、D的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式，根據(jù)解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）求出直線AD的解析式，求出直線AD于y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出三角形面積；
（3）過(guò)Q作QP∥y軸交直線AD于P，則Q（x，-x²+2x+3），P（x，x+1），求出PQ═-x²+x+2，根據(jù)點(diǎn)A、D分別到直線PQ的距離和為3和S_△AQD=S_△AQP+S_△DQP代入求出△AQD的面積，再求出△APD的面積，比較即可．

解答：解：（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)A、D，
∴

0=-a-b+c 3=-4+2b+c

，
∴b=2，c=3，C（0，3），
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)F（1，4）；

（2）如圖1，∵直線AD也過(guò)A、D兩點(diǎn)，
∴

0=-k+b 3=2k+b

，
∴k=1，b=1，
∴直線AD的解析式為y=x+1，直線AD與y軸的交點(diǎn)E為（0，1），
則CE=3-1=2，
又∵點(diǎn)A、D分別到y(tǒng)軸的距離為1，2，
∴S_△ADC=S_△ACE+S_△DCE=

1

2

×1×2+

1

2

×2×2=3；

（3）其說(shuō)法不正確．
如圖2，過(guò)Q作QP∥y軸交直線AD于P，則Q（x，-x²+2x+3），P（x，x+1），
∴PQ=-x²+2x+3-x-1=-x²+x+2，
又∵點(diǎn)A、D分別到直線PQ的距離和為3．
∴S_△AQD=S_△AQP+S_△DQP=

1

2

×PQ×3=

1

2

×（-x²+x+2）×3=-

3

2

x²+

3

2

x+3，
S_△AQD=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，S_△AQD的最大值是

27

8

，
又∵F（1，4），當(dāng)x=1時(shí)，代入直線AD的解析式y(tǒng)=x+1得：y=2，
∴S_△APD=

1

2

×3×（4-2）=3，
∵

27

8

＞3，
∴點(diǎn)Q、F重合時(shí)△AQD的面積最大的說(shuō)法不正確，△AQD面積的最大值為

27

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力．