Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，tan∠ABC=，點(diǎn)P在線段OC上，且PO、PC的長(zhǎng)（PO＜PC）是方程x²-12x+27=0的兩根．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求AP的長(zhǎng)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出直線PQ的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）解方程x²-12x+27=0，得x₁=3，x₂=9，
∵PO＜PC，
∴PO=3，
∴P（0，-3）；

（2）∵PO=3，PC=9，
∴OC=12，
∵∠ABC=∠ACO，
∴tan∠ACO=，
∴OA=9，
∴A（-9，0），
∴AP=；

（3）存在，
①當(dāng)CQ∥PA時(shí)，直線PA的解析式為：y=-x-3，
∴直線CQ的解析式為：y=-x-12，
∴Q（-36，0），
∴直線PQ解析式為：y=-x-3，
②當(dāng)PQ′∥AC時(shí)，直線AC的解析式為：y=-x-12，
∴直線PQ′的解析式為：y=-x-3，
綜上所述：直線PQ解析式為：y=-x-3或y=-x-3，
說(shuō)明：如果學(xué)生有不同于本參考答案的解題方法，只要正確，可參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，酌情給分．
分析：（1）根據(jù)PO、PC的長(zhǎng)（PO＜PC）是方程x²-12x+27=0的兩根．解方程x²-12x+27=0，得x₁=3，x₂=9，得PO=3．即P（0，-3）；
（2）由（1）可知，PO=3，PC=9，OC=12，∠ABC=∠ACO，所以tan∠ACO=，可求得A（-9，0），所以AP=；
（3）先根據(jù)梯形的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)解出直線PQ解析式為：y=-x-3或y=-x-3．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．