Question

【題目】（8分）如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥MN于點(diǎn)E.

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）7.5cm

【解析】分析：（1）連接OD，根據(jù)平行線的判斷方法與性質(zhì)可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切線．（2）由直角三角形的特殊性質(zhì)，可得AD的長(zhǎng)，又有△ACD∽△ADE．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求得圓的半徑．

本題解析：(1)證明：連接OD

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴DO∥MN.∵DE⊥MN，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．

(2)解：連接CD.∵DE⊥MN，∴∠AED＝90°.在Rt△AED中，DE＝6cm，AE＝3cm，∴AD＝cm.∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠AED＝90°.∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴，即AC＝，∴AC＝15cm，∴OA＝AC＝7.5cm，即⊙O的半徑是7.5cm.