Question

如圖，在等邊△ABC中，AB=4，點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，過(guò)P作PE⊥BC于E；過(guò)E作EF⊥AC于F；過(guò)F作FQ⊥AB于Q．設(shè)BP=x，AQ=y，用含x的式子填空，并解答有關(guān)問(wèn)題．
（1）根據(jù)題意可得，BE=

1

2

BP，∴BE=

1

2

x，∴EC=4-

1

2

x
又FC=

1

2

EC，∴FC=

 

，∴AF=4-FC=

 

又AQ=

1

2

AF，∴AQ=

 

，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

 

（2）當(dāng)AQ=1.2時(shí)，求BP的長(zhǎng)度；
（3）當(dāng)BP的長(zhǎng)度等于多少時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合？

Answer 1

分析：（1）正三角形的每一個(gè)角等于60°，再由垂直，得出∠BPE=∠CEF=∠AFQ=30°，在直角三角形中，30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，據(jù)此推出答案．
（2）（3）代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵PE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)Q⊥AB，∴∠BPE=∠CEF=∠AFQ=30°，
∵AB=4，∴FC=

1

2

EC，∴FC=2-

1

4

x，∴AF=4-FC=2+

1

4

x，
又AQ=

1

2

AF，∴AQ=1+

1

8

x，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=1+

1

8

x；

（2）當(dāng)AQ=1.2時(shí)，即y=1.2時(shí)，1.2=1+

1

8

x，解得x=1.6，
∴當(dāng)AQ=1.2時(shí)，求BP的長(zhǎng)度為1.6；

（3）∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，∴x+y=4，∴x+1+

1

8

x=4，解得x=

8

3

，
∴當(dāng)BP的長(zhǎng)度等于

8

3

時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)綜合題，難度不大，主要考查在直角三角形中，30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．