Question

【題目】（問題）如圖①，在a×b×c（長×寬×高，其中a，b，c為正整數）個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數是多少？

（探究）

探究一：

（1）如圖②，在2×1×1個小立方塊組成的長方體中，棱AB上共有1+2==3條線段，棱AC，AD上分別只有1條線段，則圖中長方體的個數為3×1×1=3．

（2）如圖③，在3×1×1個小立方塊組成的長方體中，棱AB上共有1+2+3==6條線段，棱AC，AD上分別只有1條線段，則圖中長方體的個數為6×1×1=6．

（3）依此類推，如圖④，在a×1×1個小立方塊組成的長方體中，棱AB上共有1+2+…+a=線段，棱AC，AD上分別只有1條線段，則圖中長方體的個數為______．

探究二：

（4）如圖⑤，在a×2×1個小立方塊組成的長方體中，棱AB上有條線段，棱AC上有1+2==3條線段，棱AD上只有1條線段，則圖中長方體的個數為×3×1=．

（5）如圖⑥，在a×3×1個小立方塊組成的長方體中，棱AB上有條線段，棱AC上有1+2+3==6條線段，棱AD上只有1條線段，則圖中長方體的個數為______．

（6）依此類推，如圖⑦，在a×b×1個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數為______．

探究三：

（7）如圖⑧，在以a×b×2個小立方塊組成的長方體中，棱AB上有條線段，棱AC上有

條線段，棱AD上有1+2==3條線段，則圖中長方體的個數為××3=．

（8）如圖⑨，在a×b×3個小立方塊組成的長方體中，棱AB上有條線段，棱AC上有條線段，棱AD上有1+2+3==6條線段，則圖中長方體的個數為______．

（結論）如圖①，在a×b×c個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數為______．

（應用）在2×3×4個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數為______．

（拓展）

如果在若干個小立方塊組成的正方體中共有1000個長方體，那么組成這個正方體的小立方塊的個數是多少？請通過計算說明你的結論．

Answer 1

【答案】探究一：（3） ；探究二：（5）3a（a+1）；（6） ；探究三：（8） ；【結論】：① ；【應用】： 180；【拓展】：組成這個正方體的小立方塊的個數是64，見解析.

【解析】

（3）根據規(guī)律，求出棱AB，AC，AD上的線段條數，即可得出結論；

（5）根據規(guī)律，求出棱AB，AC，AD上的線段條數，即可得出結論；

（6）根據規(guī)律，求出棱AB，AC，AD上的線段條數，即可得出結論；

（8）根據規(guī)律，求出棱AB，AC，AD上的線段條數，即可得出結論；

(結論)根據規(guī)律，求出棱AB，AC，AD上的線段條數，即可得出結論；

(應用)a=2，b=3，c=4代入(結論)中得出的結果，即可得出結論；

(拓展)根據(結論)中得出的結果，建立方程求解，即可得出結論．

解：探究一、（3）棱AB上共有線段，棱AC，AD上分別只有1條線段，

則圖中長方體的個數為 ×1×1= ，

故答案為： ；

探究二：（5）棱AB上有 條線段，棱AC上有6條線段，棱AD上只有1條線段，

則圖中長方體的個數為 ×6×1=3a（a+1），

故答案為3a（a+1）；

（6）棱AB上有 條線段，棱AC上有條線段，棱AD上只有1條線段，

則圖中長方體的個數為 ××1=，

故答案為；

探究三：（8）棱AB上有 條線段，棱AC上有條線段，棱AD上有6條線段，

則圖中長方體的個數為 ××6=，

故答案為‘；

(結論)棱AB上有 條線段，棱AC上有條線段，棱AD上有條線段，

則圖中長方體的個數為××=，

故答案為；

(應用)由(結論)知，，

∴在2×3×4個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數為=180，

故答案為為180；

拓展：設正方體的每條棱上都有x個小立方體，即a=b=c=x，

由題意得

=1000，

∴[x（x+1）]3=203，

∴x（x+1）=20，

∴x1=4，x2=-5（不合題意，舍去）

∴4×4×4=64

所以組成這個正方體的小立方塊的個數是64．