Question

在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形OAB的邊長是2

3

，且OB邊落在x軸的正半軸上，點A落在第一象限、將△OAB折疊，使點A落在x軸上，設(shè)點C是點A落在x軸上的對應(yīng)點，
（1）當(dāng)△OAB沿直線y=kx+b折疊時，如果點A恰好落在點C（0，0），求b的值；
（2）當(dāng)△OAB沿直線y=kx+b折疊時，點C的橫坐標(biāo)為m，求b與m之間的函數(shù)關(guān)系式；并寫出當(dāng)b=

1

2

時，點C的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)△OAB沿直線y=kx+b折疊時，如果我們把折痕所在直線與△OAB的位置分為如圖1、圖2、圖3三種情形，請你分別寫出每種情形時b的取值范圍（將答案直接填寫在每種情形下的橫線上）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，知如果點A恰好落在點C（0，0），則直線過點B．設(shè)直線和y軸的交點是M，則根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)即可求得b的值．
（2）此題稍微復(fù)雜，若A點關(guān)于直線y=kx+b的對稱點C在x軸上，那么AC的中點在直線y=kx+b上，且直線AC的斜率為-

1

k

（即AC與直線y=kx+b垂直），可根據(jù)這兩個條件得到b、m的關(guān)系式，進(jìn)而代值求出C點坐標(biāo)．
（3）此題要結(jié)合（2）的結(jié)論來求解，從兩方面考慮：
①由（2）可得到關(guān)于m的二次方程，若C點在x軸上，那么關(guān)于m的方程的根的判別式必大于等于0；
②根據(jù)圖中直線的位置，大致判斷出m的最大或最小值，然后再代入（2）的解析式中進(jìn)行求解．

解答：解：（1）根據(jù)等邊三角形的三線合一的性質(zhì)，則此時直線過點B．
設(shè)直線和y軸的交點是M．
在Rt△CBM中，∠CBM=30°，OB=2

3

，
則OM=2，即b=2．

（2）易知：A（

3

，3），已知C（m，0），則AC的中點為（

m+ 3

2

，

3

2

）；
依題意有：

m+ 3 2 k+b= 3 2 3 3 -m =- 1 k

；
消去k，得：m²+6b-12=0，即b=2-

1

6

m²．
當(dāng)b=

1

2

時，2-

1

6

m²=

1

2

，解得m=±3；
故：C₁（3，0），C₂（-3，0）．（5分）

（3）圖①：0≤b≤2，圖②：0≤b≤2，圖③：-6≤b≤0；
理由：由（2）知：12-6b=m²，m²+6b-12=0；
若C點在x軸上，則方程m²+6b-12=0必有實數(shù)解，即：
△=-4（6b-12）≥0，解得b≤2；
圖①中，顯然b≥0，那么b的取值范圍是：0≤b≤2；
圖②中，顯然b≥0，同圖①可得：0≤b≤2；
圖③中，顯然b≤0，由于m的值最大可取4

3

，那么：
12-6b²≤（4

3

）²，即b≥-6，
因此-6≤b≤0．

點評：此題是一次函數(shù)的綜合題目，涉及到圖形的翻折變換，以及函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用等知識，難度較大．