Question

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=x2+mx+n與x軸正半軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)利用直尺和圓規(guī),作出拋物線(xiàn)y=x2+mx+n的對(duì)稱(chēng)軸(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法);

(2)若△OBC是等腰直角三角形,且其腰長(zhǎng)為3,求拋物線(xiàn)的解析式;

(3)在(2)的條件下,點(diǎn)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn),則PA+PC的最小值為 .

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）y=x2﹣4x+3；（3）3.

【解析】

（1）利用基本作圖，作AB的垂直平分線(xiàn)即可；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OB=OC=3，則C（0，3），B（3，0），然后利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式；

（3）連接BC交直線(xiàn)l于P，如圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可判斷此時(shí)PC+PA的值最小，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出BC即可．

（1）如圖，直線(xiàn)l為所作；

（2）∵△OBC是等腰直角三角形，且其腰長(zhǎng)為3，即OB=OC=3，∴C（0，3），B（3，0），把C（0，3），B（3，0）分別代入y=x2+mx+n得：，解得：，∴拋物線(xiàn)解析式為y=x2﹣4x+3；

（3）連接BC交直線(xiàn)l于P，如圖，則PA=PB．

∵PC+PA=PC+PB=BC，∴此時(shí)PC+PA的值最小，而BC=OB=3，∴PA+PC的最小值為3．

故答案為：3．