Question

（1）定義f(x)=

1

3 x2+2x+1 + 3 x2-1 + 3 x2-2x+1

，求f（1）+f（3）+…+f（2k-1）+f（999）的值；
（2）設(shè)x、y都是正整數(shù)，且使

x-116

+

x+100

=y，求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）將定義的式子根據(jù)立方差公式化簡，找出一般規(guī)律，再代值計算，尋找抵消規(guī)律；
（2）已知等式右邊為整數(shù)，左邊的兩個二次根式必為整數(shù)，故設(shè)x-116=m²，x+100=n²，兩式相減利用平方差公式進行求解．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3 x2+2x+1 + 3 x2-1 + 3 x2-2x+1

=

3 x+1 - 3 x-1

[ 3 (x+1)2 + 3 (x+1)(x-1) + 3 (x-1)2 ]( 3 x+1 - 3 x-1 )

=

3 x+1 - 3 x-1

2

，
∴原式=

3 2

2

+

3 4 - 3 2

2

+

3 6 - 3 4

2

+…+

3 1000 - 3 998

2

=5；
（2）∵x-116、x+100、y都為整數(shù)，
∴

x-116

、

x+100

必為整數(shù)，
設(shè)x-116=m²，x+100=n²，（m＜n，m、n為正整數(shù)）
兩式相減，得n²-m²=（n+m）（n-m）=216=4×54=2×108，
當m+n=108時，y的值最大，最大值為108．

點評：本題考查了立方根的化簡，尋找抵消規(guī)律，二次根式與整數(shù)的關(guān)系問題，運用了立方差公式、平方差公式，具有一定的綜合性．