Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的OA邊在x 軸上，OC邊在y軸上，且B點坐標為（4，3）．動點M、N分別從點O、B同時出發(fā)，以1單位/秒的速度運動（點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動），過點N作NP∥AB交AC于點P，連接MP．
（1）直接寫出OA、AB的長度；
（2）試說明△CPN∽△CAB；
（3）在兩點的運動過程中，請求出△MPA的面積S與運動時間t的函數(shù)關系式；
（4）在運動過程中，△MPA的面積S是否存在最大值？若存在，請求出當t為何值時有最大值，并求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質，以及B點坐標為（4，3），可直接的出OA、AB的長度；
（2）根據(jù)過點N作NP∥AB交AC于點P，直接可得出三角形相似；
（3）用t表示出P點的坐標，可以得出S的關系式；
（4）利用公式可直接得出當t=-

b

2a

=2時，二次函數(shù)有最大值

4ac-b 2

4a

．

解答：解：（1）∵矩形ABCO的OA邊在x 軸上，OC邊在y軸上，且B點坐標為（4，3）
∴OA=4，AB=3；

（2）∵NP∥AB，
∴△CPN∽△CAB；

（3）∵P點的橫坐標是4-t，
求出CA的直線為y=-3x/4+3，代入P的橫坐標得到P的縱坐標，

3

4

t
所以P的坐標為（4-t，3t/4）
∴S_△MPA=MA×y_P÷2=

1

2

×（4-t）×

3

4

t=-

3

8

t²+

3

2

t，t≤4

（4）由S關于t的函數(shù)S=-

3

8

t²+

3

2

t，
當t=-

b

2a

=2時，二次函數(shù)有最大值

4ac-b 2

4a

=

3

2

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定，以及二次函數(shù)的最值問題，題目比較典型，是中考中熱點問題．