Question

如圖，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t>0）。

（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP=____，點(diǎn)Q到AC的距離是____；
（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）
（3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值。

Answer 1

解：（1）1，；
（2）作QF⊥AC于點(diǎn)F，如圖（1），AQ=CP=t， ∴AP=3-t， 由△AQF∽△ABC，， 得，∴， ∴， 即；
（3）能； ①當(dāng)DE∥QB時(shí)， ∵DE⊥PQ， ∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形， 此時(shí)，∠AQP=90°， 由△APQ∽△ABC，得， 即， 解得； ②如圖（3），當(dāng)PQ∥BC時(shí)，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形， 此時(shí)∠APQ=90°，由△AQP∽△ABC，得， 即，解得；	圖（3）
（4）或， ①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C， 連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，如圖（4）， PC=t，QC2=QC2+CG2=， 由PC2=QC2，解得。