Question

3．如圖，已知△ABC是⊙O的內接三角形，D是OA延長線上的一點，連接DC，且∠B=∠D=30°，AC=4．
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連結OC，如圖，根據圓周角定理得到∠AOC=2∠B=60°，則利用三角形內角和可計算出∠OCD=90°，所以OC⊥CD，然后根據切線的判定定理可判斷CD為⊙O的切線；
（2）先判斷△AOC為等邊三角形，則OA=AC=4，然后根據扇形面積公式和等邊三角形的面積公式，利用S_陰影部分=S_扇形AOC-S_△OAC進行計算．

解答 解：（1）直線CD為⊙O的切線．理由如下：
連結OC，如圖，
則∠AOC=2∠B=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-30°-60°=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD為⊙O的切線；
（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC為等邊三角形，
∴OA=AC=4，
∴S_陰影部分=S_扇形AOC-S_△OAC
=$\frac{60•π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•4²
=$\frac{8}{3}$π-4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定：切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了扇形面積公式．