Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線的對(duì)稱軸x=1與拋物線交于點(diǎn)D，與直線BC交于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)F事直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F，使四邊形ABFC的面積為15？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）平行于DE的一條動(dòng)直線l與直線BC相交于點(diǎn)P，與拋物線相交于點(diǎn)Q，若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：點(diǎn)A（﹣2，0）與點(diǎn)B關(guān)于x=1對(duì)稱，得

B（4，0）．

將A，B，C代入函數(shù)解析式，得

解得 ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2+x+4；

（2）解：不存在點(diǎn)F，使四邊形ABFC的面積為15，理由如下：

如圖1

，

AC的解析式為y=﹣x+4，

設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣ m2+m+4），G（m，﹣m+4），

FG的長為（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m，

S四邊形ABFC=S△ABC+S△ABF

= ABxC+ FG（xB﹣xA）

= ×6×4+ ×4（﹣ m2+2m）=15，

化簡，得

2m2﹣4m+3=0，

∵△=b2﹣4ac=16﹣4×2×3=﹣8＜0，

方程無解，

∴P點(diǎn)不存在；

（3）解：當(dāng)x=1時(shí)，﹣ x2+x+4= ，即D（1， ）

當(dāng)x=1時(shí)，﹣x+4=3，即E（1，3），

DE= ﹣3= ．

AC的解析式為y=﹣x+4，

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣ m2+m+4），P（m，﹣m+4），

QP的長為|（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）|=|﹣ m2+2m|．

由PQ∥DE，PQ=DE，得

|﹣ m2+2m|= ．

﹣ m2+2m= ，或）﹣ m2+2m=﹣ ，

解得m1=1舍，m2=3，m3=2+ ，m4=2﹣ ．

P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）（2+ ，2﹣ ）（2﹣ ，2+ ）．

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；（2）根據(jù)根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得FG的長，根據(jù)面積的和差，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；（3）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．