Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，交AB于點E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．
（1）求證：直線DF與⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

連接OD．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠C，

∴∠ODC=∠B，

∴OD∥AB，

∵DF⊥AB，

∴OD⊥DF，

∵點D在⊙O上，

∴直線DF與⊙O相切

（2）解：∵四邊形ACDE是⊙O的內接四邊形，

∴∠AED+∠ACD=180°，

∵∠AED+∠BED=180°，

∴∠BED=∠ACD，

∵∠B=∠B，

∴△BED∽△BCA，

∴ = ，

∵OD∥AB，AO=CO，

∴BD=CD= BC=3，

又∵AE=7，

∴ = ，

∴BE=2，

∴AC=AB=AE+BE=7+2=9

【解析】（1）連接OD，利用AB=AC，OD=OC，證得OD∥AD，易證DF⊥OD，故DF為⊙O的切線；（2）證得△BED∽△BCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可．