Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(0，2)，△AOB為等邊三角形，P是x軸上一個動點(不與原點O重合)，以線段AP為一邊在其右側(cè)作等邊三角形APQ．

(1)求點B的坐標(biāo)．

(2)在點P運(yùn)動過程中，∠ABQ的大小是否發(fā)生改變？若不改變，求出其大小；若改變，請說明理由．

(3)連接OQ，當(dāng)OQ∥AB時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) 點B的坐標(biāo)為(，1)；(2)∠ABQ的大小始終不變，∠ABQ＝90°；(3) P的坐標(biāo)為(-，0)

【解析】

（1）過點B作BC⊥x軸于點C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠AOB＝60°，BO＝OA＝2，從而求出∠BOC＝30°，然后根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求出BC和OC，從而求出點B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°，從而證出∠PAO＝∠QAB，然后利用SAS證出△APO≌△AQB，從而得出∠ABQ＝∠AOP＝90°；

（3）根據(jù)題意，畫出圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°，從而求出∠OBQ=30°，然后根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求出OQ和BQ，再根據(jù)（2）中全等可得OP=BQ，從而求出點P的坐標(biāo)．

解：(1)如圖①，過點B作BC⊥x軸于點C．

∵△AOB為等邊三角形，且OA＝2，

∴∠AOB＝60°，BO＝OA＝2．

∴∠BOC＝30°．

又∵∠OCB＝90°，

∴BC＝OB＝1，OC＝．

∴點B的坐標(biāo)為(，1)．

(2)∠ABQ的大小始終不變．

∵△APQ，△AOB均為等邊三角形，

∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°．

∴∠PAO＝∠QAB．

在△APO與△AQB中，

∴△APO≌△AQB(SAS)．

∴∠ABQ＝∠AOP＝90°．

(3)如圖②，當(dāng)OQ∥AB時，點P在x軸的負(fù)半軸上，點Q在點B的下方，

∵AB∥OQ，

∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．

∴∠OBQ＝30°．

又OB＝OA＝2，

∴OQ＝OB＝1，BQ＝，

由(2)可知，△APO≌△AQB，

∴OP＝BQ＝．

∴此時點P的坐標(biāo)為(-，0)．