Question

26、如圖①，直線l過正方形ABCD的頂點B，A，C兩頂點在直線l同側(cè)，過點A，C分別作AE⊥直線l，CF⊥直線l．
（1）試說明：EF=AE+CF；
（2）如圖②，當A，C兩頂點在直線l兩側(cè)時，其它條件不變，猜想EF，AE，CF滿足什么數(shù)量關(guān)系（直接寫出答案，不必說明理由）．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，AB=CB，由AE⊥直線l，CF⊥直線l，可得到∠AEB=∠CFB=90°，
再由∠CBF+∠ABE=90°和∠FCB+∠CBF=90°，利用同角的余角相等可證明∠ABE=∠BCF，這樣可以證明△AEB≌△BFC，即可得出答案；
（2）先證明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，即可以得出EF=AE-CF．

解答：證明：（1）∵AE⊥直線l，CF⊥直線l，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∵∠FCB+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△AEB和△BFC中，
AB=BC，∠AEB=∠CFB，∠ABE=∠BCF，
∴△AEB≌△BFC，
∴AE=BF，BE=CF，
∴EF=AE+CF，

（2）易證，△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，AE=BF，
∴EF+BE=CF，
即EF+CF=AE，
整理得EF=AE-CF．

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，證明線段之間的等量關(guān)系經(jīng)常運用全等解決，同學們應學會這種思想．