Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜邊AB為一邊作等邊△ABD，使點C，D在AB的同側；再以CD為一邊作等邊△CDE，使點C，E落在AD的異側．若AE=2，則CD的長為

6 - 2

2

．

Answer 1

分析：延長DC交AB于F，得出直線DC是AB的垂直平分線，證△EDA≌△CDA，求出AC=1，求出CF、DF，即可得出答案．

解答：解：延長DC交AB于F，
由題意易得，
∵AC=BC，
∴C在AB的垂直平分線上，
同理，D在AB的垂直平分線上，
∴CD是等邊三角形ABD的角平分線，
∴∠ADC=30°，
則∠EDA=60°-30°=30°，
∵ED=DC，AD=AD，∠EDA=∠CDA=30°
∴△EDA≌△CDA，
∴EA=AC=1，
∴在等腰Rt△ABC中AB=

12+12

=

2

，
AF=BF=

1

2

2

，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF=

12-( 1 2 2 )2

=

1

2

2

，
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，AD=AB=

2

，AF=

1

2

2

，由勾股定理得：DF=

1

2

6

，
∴DC=DF-CF=

1

2

6

-

1

2

2

=

6 - 2

2

，
故答案為：

6 - 2

2

．

點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形等知識點的綜合運用．