Question

（本題12分）如圖①所示，直線L：與軸負(fù)半軸、軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)。

（1）當(dāng)OA=OB時(shí)，試確定直線L的解析式；

（2）在（1）的條件下，如圖②所示，設(shè)Q為AB延長線上一點(diǎn)，作直線OQ，過A、B兩點(diǎn)分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，試說明MN=AM+BN。

（3）當(dāng)取不同的值時(shí)，點(diǎn)B在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以O(shè)B、AB為邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交軸于P點(diǎn)，如圖③。

問：當(dāng)點(diǎn)B在 y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想PB的長是否為定值，若是，請(qǐng)求出其值，若不是，說明理由。

Answer 1

（1）y=x+5 （2）7 （3）

【解析】

試題分析：（1）由直線L解析式，求出A與B坐標(biāo)，根據(jù)OA=OB，求出m的值，即可確定出直線L解析式；

（2）由OA=OB，對(duì)頂角相等，且一對(duì)直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用對(duì)應(yīng)線段相等求長度；

（3）如圖，作EK⊥y軸于K點(diǎn)，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，尋找相等線段，并進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求PB的長．

試題解析： 【解析】
（1）∵直線L：y=mx+5m，

∴A（-5，0），B（0，5m），

由OA=OB，

得5m=5，m=1，

∴直線解析式為：y=x+5；

（2）在△AMO和△OBN中，

，

∴△AMO≌△ONB（AAS），

∴AM=ON=4，

∴BN=OM=3，

則MN=OM+ON=4+3=7；

（3）如圖，作EK⊥y軸于K點(diǎn)，

∵△ABE為等腰直角三角形，

∴AB=BE，∠ABE=90°，

∴∠EBK+∠ABO=90°，

∵∠EBK+∠BEK=90°，

∴∠ABO=∠BEK，

在△AOB和△BKE中，

，

∴△AOB≌△BKE（AAS），

∴OA=BK，EK=OB，

∵△OBF為等腰直角三角形，

∴OB=BF，

∴EK=BF，

在△EKP和△FBP中，

，

∴△PBF≌△PKE（AAS），

∴PK=PB，

∴PB=BK=OA=．

考點(diǎn)：一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)