Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如圖所示），∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，連接DE．
（1）在圖中，用尺規(guī)作∠BAD的平分線AE（保留作圖痕跡，不寫作法），并證明四邊形ABED是菱形；
（2）∠ABC=60°，EC=2BE，求證：ED⊥DC．

Answer 1

分析：（1）分別以點(diǎn)B、D為圓心，以大于AB的長(zhǎng)度為半徑，分別作弧，且兩弧交于一點(diǎn)P，連接AP，則AP即為∠BAD的平分線，且AP交BC于點(diǎn)E；
可通過(guò)證△BOE≌△BOA，得AO=OE，則AD與BE平行且相等，由此證得四邊形ABED是平行四邊形，而AB=AD，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可證得所求的結(jié)論；
（2）已知了EC、BE的比例關(guān)系，可用未知數(shù)表示出BE、EC的長(zhǎng)；過(guò)D作DF⊥BC于F，在Rt△DEF中，易知∠DEF=∠ABC=60°，可用DE（即BE）的長(zhǎng)表示出EF、DF，進(jìn)而表示出FC的長(zhǎng)；在Rt△CFD中，根據(jù)DF、CF的長(zhǎng)，可由勾股定理求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)DE、EC、CD的長(zhǎng)由勾股定理證得DE⊥DC．

解答：（1）解：作圖如圖．
證明：在△ABO與△ADO中，
∵

AB=AD ∠BAO=∠DAO AO=AO

，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴BO=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OBE=∠ODA，∠OAD=∠OEB，
在△BOE與△DOA中，
∵

∠OEB=∠OAD ∠OBE=∠ODA BO=OD

，
∴△BOE≌△DOA（AAS），
∴BE=AD（平行且相等），
∴四邊形ABED為平行四邊形，另AB=AD，
∴四邊形ABED為菱形；

（2）證明：設(shè)DE=2a，則CE=4a，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，
∵∠ABC=60°，∴∠DEF=60°，
∴∠EDF=30°，∴EF=

1

2

DE=a，
則DF=

3

a，CF=CE-EF=4a-a=3a，
∴CD=

DF2+CF2

=

3a2+9a2

=2

3

a，
∴DE=2a，EC=4a，CD=2

3

a，構(gòu)成一組勾股數(shù)，
∴△EDC為直角三角形，則ED⊥DC．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了梯形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖-角平分線的作法、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)．