Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），直線與軸相交于點(diǎn)，連結(jié)，拋物線從點(diǎn)沿方向平移，與直線交于點(diǎn)，頂點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．

（1）求線段所在直線的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)為何值時(shí)，線段最短；

（3）當(dāng)線段最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使△的面積與△的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，PB最短；（3）拋物線上存在點(diǎn)，

使△與△的面積相等.

【解析】

試題分析：解：（1）設(shè)所在直線的函數(shù)解析式為，

∵（2，4），∴, ,

∴所在直線的函數(shù)解析式為. 2分

（2）∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，且在線段上移動(dòng)，

∴（0≤≤2）.

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).

∴拋物線函數(shù)解析式為

∴當(dāng)時(shí)，（0≤≤2）.

∴， 又∵0≤≤2，

∴當(dāng)時(shí)，PB最短.         6分

（3）當(dāng)線段最短時(shí)，此時(shí)拋物線的解析式為.

假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)，使. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）.

①當(dāng)點(diǎn)落在直線的下方時(shí)，過(guò)作直線//，交軸于點(diǎn)，

∵，，

∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，）.

∵點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，3），∴直線的函數(shù)解析式為.

∵，∴點(diǎn)落在直線上.

∴=.解得，即點(diǎn)（2，3）.

∴點(diǎn)與點(diǎn)重合.

∴此時(shí)拋物線上不存在點(diǎn)，使△與△的面積相等.  7分

②當(dāng)點(diǎn)落在直線的上方時(shí)，

作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱稱點(diǎn)，過(guò)作直線//，交軸于點(diǎn)，

∵，∴，

∴、E、D的坐標(biāo)分別是（0，1），（2，5），

∴直線函數(shù)解析式為.

∵，∴點(diǎn)落在直線上.

∴=.

解得：，.

代入，得，.

∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)，… 9分

使△與△的面積相等.  

綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)、

使△與△的面積相等. 10分

考點(diǎn)：拋物線

點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)解析式和拋物線的知識(shí)，會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，對(duì)拋物線的性質(zhì)的運(yùn)用，是解決本題的關(guān)鍵