Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如果拋物線(xiàn)與線(xiàn)段有唯一公共點(diǎn)，

①求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，

②求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）(3,3);（2）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）①將拋物線(xiàn)化成頂點(diǎn)式，即可得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

②分類(lèi)討論當(dāng)n＞3時(shí)；當(dāng)n=3時(shí)；當(dāng)0＜n＜3時(shí)，拋物線(xiàn)y=nx2-4nx+5n（n＞0）與線(xiàn)段BC有唯一公共點(diǎn)，求n的取值范圍．

解：（1）∵直線(xiàn)與軸交于點(diǎn).

∴點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，為直線(xiàn).

∵直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）①∵拋物線(xiàn)，

∴.

∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn).

②∵點(diǎn)，點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)最小值為，與線(xiàn)段無(wú)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為，在線(xiàn)段上.

此時(shí)拋物線(xiàn)與線(xiàn)段有一個(gè)公共點(diǎn);

當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)最小值為，與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn).

如果拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得.

由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，可知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn).

點(diǎn)不在線(xiàn)段上，此時(shí)拋物線(xiàn)與線(xiàn)段有一個(gè)公共點(diǎn).

如果拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得.

由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，可知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn).

點(diǎn)在線(xiàn)段上，此時(shí)拋物線(xiàn)與線(xiàn)段有兩個(gè)公共點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段有一個(gè)公共點(diǎn).