Question

已知四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．
當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），易證AE+CF=EF；
當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析：根據(jù)已知可以利用SAS證明△ABE≌△CBF，從而得出對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，從而得出∠ABE=∠CBF=30°，△BEF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及邊與邊之間的關(guān)系，即可推出AE+CF=EF．
同理圖2可證明是成立的，圖3不成立．

解答：解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，
在△ABE和△CBF中，

AB=BC ∠A=∠C=90° AE=CF

，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AE=

1

2

BE，CF=

1

2

BF；
∵∠MBN=60°，BE=BF，
∴△BEF為等邊三角形；
∴AE+CF=

1

2

BE+

1

2

BF=BE=EF；

圖2成立，圖3不成立．
證明圖2．
延長DC至點(diǎn)K，使CK=AE，連接BK，
在△BAE和△BCK中，

AB=CB ∠A=∠BCK=90° AE=CK

則△BAE≌△BCK，
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，
∴∠FBC+∠ABE=60°，
∴∠FBC+∠KBC=60°，
∴∠KBF=∠FBE=60°，
在△KBF和△EBF中，

BK=BE ∠KBF=∠EBF BF=BF

∴△KBF≌△EBF，
∴KF=EF，
∴KC+CF=EF，
即AE+CF=EF．
圖3不成立，
AE、CF、EF的關(guān)系是AE-CF=EF．

點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS等，這些方法要求學(xué)生能夠掌握并靈活運(yùn)用．