Question

【題目】如圖：已知在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BD＝CE，直線CD與AE相交于點(diǎn)F．

（1）求證：DC＝AE；

（2）求證：AD2＝DCDF．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用“SAS”證明△DBC≌△ECA即可；

（2）由△DBC≌△ECA可知∠E＝∠D，根據(jù)外角定理可知∠AFC=∠E+∠FCE=∠D+∠BCD=∠ABC=60°，可證△DCA∽△DAF，利用相似比得出結(jié)論．

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，BC=CA

∴∠DBC=∠ECA=180°﹣60°=120°

在△DBC與△ECA中

∴△DBC≌△ECA（SAS）

∴DC＝AE；

（2）∵△DBC≌△ECA，

∴∠DCB＝∠EAC

又∠ACB＝∠BAC

∴∠DCA＝∠DAF

又∠D＝∠D

∴△DCA∽△DAF

∴

∴AD2＝DCDF．