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        1. 如圖所示,拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn),直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y=-
          3
          x+3
          3
          ,拋物線的對(duì)稱軸l與直線BD交于點(diǎn)C、與x軸交于點(diǎn)E.
          (1)求A、B、C三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);
          (2)點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合),以點(diǎn)A為圓心、以AP為半徑的圓弧與線段AC交于點(diǎn)M,以點(diǎn)B為圓心、以BP為半徑的圓弧與線段BC交于點(diǎn)N,分別連精英家教網(wǎng)接AN、BM、MN.
          ①求證:AN=BM;
          ②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,四邊形AMNB的面積有最大值還是有最小值?并求出該最大值或最小值.
          分析:(1)拋物線的解析式中,令y=0,即可求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo);聯(lián)立拋物線的對(duì)稱軸方程及直線BD的解析式即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo);
          (2)①求簡(jiǎn)單的線段相等,可證線段所在的三角形全等,即證△ABN≌△BCM即可;
          ②由圖知:四邊形AMNB的面積為△ABC與△CMN的面積差,等邊△ABC的面積易求得,關(guān)鍵是求△CMN的面積;過M作MF⊥CN于F,設(shè)AP=AM=m,則可用m表示出CM、BN、CN的長(zhǎng),進(jìn)而可在Rt△MFC中,根據(jù)∠ACB的正弦值求出MF的表達(dá)式,由此可得到△CMN的面積,即可求得關(guān)于四邊形AMNB的面積和m的函數(shù)關(guān)系式,即可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出四邊形AMNB的最大或最小值.
          解答:解:(1)令-x2+2x+3=0,
          解得:x1=-1,x2=3,
          ∴A(-1,0),B(3,0)(2分)
          ∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
          ∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,
          將x=1代入y=-
          3
          x+3
          3
          ,
          得y=2
          3

          ∴C(1,2
          3
          );(3分)

          (2)①在Rt△ACE中,tan∠CAE=
          CE
          AE
          =
          3
          ,
          ∴∠CAE=60°,
          由拋物線的對(duì)稱性可知l是線段AB的垂直平分線,
          ∴AC=BC,
          ∴△ABC為等邊三角形,(4分)
          ∴AB=BC=AC=4,∠ABC=∠ACB=60°,
          又∵AM=AP,BN=BP,
          ∴BN=CM,
          ∵在△ABN與△BCM中,
          AB=BC
          ∠ABN=∠BCM
          BN=CM

          ∴△ABN≌△BCM(SAS),
          ∴AN=BM;(5分)
          ②四邊形AMNB的面積有最小值.(6分)精英家教網(wǎng)
          設(shè)AP=m,四邊形AMNB的面積為S,
          由①可知AB=BC=4,BN=CM=BP,S△ABC=
          1
          2
          ×4×4×
          3
          2
          =4
          3

          ∴CM=BN=BP=4-m,CN=m,
          過M作MF⊥BC,垂足為F
          則MF=MC•sin60°=
          3
          2
          (4-m)
          ,
          ∴S△CMN=
          1
          2
          CN•MF
          =
          1
          2
          m
          3
          2
          (4-m)
          =-
          3
          4
          m2+
          3
          m
          ,(7分)
          ∴S=S△ABC-S△CMN
          =4
          3
          -(-
          3
          4
          m2+
          3
          m

          =
          3
          4
          (m-2)2+3
          3
          (8分)
          ∴m=2時(shí),S取得最小值3
          3
          .(9分)
          點(diǎn)評(píng):此題是二次函數(shù)的綜合題,涉及到二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法,等邊三角形、全等三角形的判定和性質(zhì),圖形面積的求法等重要知識(shí).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A、B、E,且△ABE是等腰直角三角形,AE=BE,則下列關(guān)系式中不能成立的是( 。
          A、b=0B、S△ABE=c2C、ac=-1D、a+c=0

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•河源二模)已知:如圖所示,拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(1,0),B(3,0).
          (1)求拋物線的解析式;
          (2)設(shè)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng),且滿足條件S△PAB=1的點(diǎn)P有幾個(gè)?并求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);
          (3)設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C,問該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得△MAC的周長(zhǎng)最小?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•槐蔭區(qū)一模)如圖所示,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(0,-3).
          (1)求拋物線的函數(shù)解析式;
          (2)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn),點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn),且DC=DE,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);
          (3)在直線DE上存在點(diǎn)P,使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似,請(qǐng)你直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (1997•陜西)如圖所示,拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析表達(dá)式只可能是(  )

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (1997•陜西)如圖所示的拋物線是把y=-x2經(jīng)過平移而得到的.這時(shí)拋物線過原點(diǎn)O和x軸正向上一點(diǎn)A,頂點(diǎn)為P;
          ①當(dāng)∠OPA=90°時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)及解析表達(dá)式;
          ②求如圖所示的拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)在-
          1
          2
          ≤x≤
          1
          2
          時(shí)的最大值和最小值.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案