Question

在矩形ABCD中，AB=14，BC=8，E在線段AB上，F(xiàn)在射線AD上．
（1）沿EF翻折，使A落在CD邊上的G處（如圖1），若DG=4，
①求AF的長；
②求折痕EF的長；
（2）若沿EF翻折后，點(diǎn)A總在矩形ABCD的內(nèi)部，試求AE長的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)，折疊前后線段相等，可得AF=FG，再由勾股定理即求AF的長．
②要求EF的長，可先求AE的長．由1可證△ADG∽△EAF，即求AE的長，根據(jù)勾股定理可求EF的長．
（1）若沿EF翻折后，點(diǎn)A總在矩形ABCD的內(nèi)部，假設(shè)A點(diǎn)翻折后的落點(diǎn)為P，則P應(yīng)該在以E為圓心，EA長為半徑的圓上．要保證P總在矩形內(nèi)部，CD與圓相離，BC與圓也要相離，則滿足關(guān)系式：，求得0＜AE＜7．
解答：解：（1）①設(shè)AF=x，則FG=x，
在Rt△DFG中，
x²=（8-x）²+4²
解得x=5，
所以AF=5．
②過G作GH⊥AB于H，設(shè)AE=y，
則HE=y-4．
在Rt△EHG中，
∴y²=8²+（y-4）²，解得y=10，
在Rt△AEF中，EF==，
方法二：連接AG，由△ADG∽△EAF得，
所以．
∵AG=，AH=，F(xiàn)H=，
∴AF=5，
∴AE=10，
∴EF=．

（2）假設(shè)A點(diǎn)翻折后的落點(diǎn)為P，
則P應(yīng)該在以E為圓心，EA長為半徑的圓上．
要保證P總在矩形內(nèi)部，CD與圓相離；BC與圓若有公共點(diǎn)，則成為A的落點(diǎn)，
所以BC與圓也要相離，
則滿足關(guān)系式：，
0＜AE＜7．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后線段相等．以及勾股定理的應(yīng)用．