Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，AC=20,點D與點A關于y軸對稱，點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、D重合），且∠CEF=∠ACB.

（1）直接寫出BC的長是　 　，點D的坐標是　 　；

（2）證明：△AEF與△DCE相似；

（3）當△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1） A（-12，0），D（12，0）；（2）證明見解析；（3）點E的坐標為（8，0）或（，0）.

【解析】試題分析：（1）利用矩形的性質，在中，利用三角函數(shù)求出的長度，從而得到點坐標；由點與點關于軸對稱，進而得到點的坐標；
（2）欲證△AEF與△DCE相似，只需要證明兩個對應角相等即可．如圖①，在△AEF與△DCE中，易知從而問題解決；
（3）當為等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論：
①當時，此時△AEF與△DCE相似比為1，則有
②當時，此時△AEF與△DCE相似比為，則有

③當時， 點與點重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在．

試題解析：(1)由題意

∵四邊形ABCO為矩形，AB=16，

∴A點坐標為(12,0)，

∵點D與點A關于y軸對稱，

∴D(12,0).

(2)點D與點/span>A關于y軸對稱，∴∠CDE=∠CAO，

∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，

∴∠CDE=∠CEF，

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE(三角形外角性質)

∴∠AEF=∠DCE.

則在△AEF與△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE.

(3)當△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：

①當CE=EF時，

∵△AEF∽△DCE，

∴AE=CD=20，

∴OE=AEOA=2012=8，

∴E(8,0)；

②當EF=FC時，如圖②所示，過點F作FM⊥CE于M，則點M為CE中點，

∵△AEF∽△DCE，

即解得

③當CE=CF時，則有∠CFE=∠CEF，

∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，

∴∠CFE=∠CAO，即此時點與點重合，這與已知條件矛盾.

綜上所述,當△EFC為等腰三角形時,點E的坐標為(8,0)或