Question

【題目】已知四邊形的對(duì)角線(xiàn)，，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，則的值是_______．

Answer 1

【答案】118

【解析】

先根據(jù)、、、分別是、、、的中點(diǎn)得到四邊形PQRS是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的平方與四條邊邊長(zhǎng)的平方的關(guān)系即可得到答案．

∵、、、分別是、、、的中點(diǎn)，

∴=（中位線(xiàn)的性質(zhì)），

同理可得:=

并且有 PS∥BD，PS=BD（中位線(xiàn)的性質(zhì)），

同理可得：QR∥BD，QR=，

∴PS∥QR，（等量替換），

∴四邊形PQRS是平行四邊形，

∴=+（平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四條邊長(zhǎng)的平方和，后附證明過(guò)程）

=

=27+32+27+32

=118．

附：四邊形ABCD是平行四邊形，則=+

證明： 如圖，作垂直于E，作垂直于的延長(zhǎng)線(xiàn)，交于點(diǎn)F.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB=DC，AD=BC，

∴DE=CF（兩平行線(xiàn)間的距離相等），

∴Rt△AED≌Rt△BFC（HL）

∴AE=BF，

根據(jù)勾股定理得：

,

,

,

=

=

∵（勾股定理）

∴=+（等量替換）．