Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D．已知OA=

5

，tan∠AOC=

1

2

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

1

2

，m）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)tan∠AOC=

1

2

，且OA=

5

，結(jié)合勾股定理可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)一步代入y=

k

x

中，得到反比例函數(shù)的解析式；然后根據(jù)反比例函數(shù)的解析式得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）三角形AOB的面積可利用，求和的方法即等于S_△AOC+S_△COB來(lái)求．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x于點(diǎn)H．
在RT△AHO中，tan∠AOH=

AH

HO

=

1

2

，
所以O(shè)H=2AH．
又AH²+HO²=OA²，且OA=

5

，
所以AH=1，OH=2，
即點(diǎn)A（-2，1）．
代入y=

k

x

得
k=-2．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

2

x

．
又因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為（

1

2

，m），
代入解得m=-4．
∴B（

1

2

，-4）．
把A（-2，1）B（

1

2

，-4）代入y=ax+b，得

-2a+b=1 1 2 a+b=-4

，
∴a=-2，b=-3．
∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x-3．

（2）在y=-2x-3中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-

3

2

．
即C（-

3

2

，0）．
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=

1

2

（1+4）×

3

2

=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了解直角三角形、待定系數(shù)法、和函數(shù)的基本知識(shí)，難易程度適中．