Question

（1998•山東）如圖，四邊形AOBC是菱形，點B的坐標為（4，0），∠AOB=60°．點P從點A開始以每秒1個單位長度的速度沿AC向點C移動，同時，點Q從點O開始以每秒a（1≤a＜3）個單位長度的速度沿射線OB向右移動．設t（0＜t≤4）秒后，PQ交OC于點R．
（1）當a=2，OR=8（2

3

-3)時，求t的值及經(jīng)過P、Q兩點的直線的解析式；
（2）當a為何值時，以O、Q、R為頂點的三角形和以O、B、C為頂點的三角形能夠相似？當a為何值時，以O、Q、R為頂點的三角形和以O、B、C為頂點的三角形不能夠相似？請給出結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）作CD⊥x軸于D，菱形的性質(zhì)得△OQR∽△CPR，得出比例式，求出t的值及此時經(jīng)過P、Q兩點的直線解析式；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得當a=1時，△ORQ∽△OBC，當1＜a＜3時，以O、Q、R為頂點的三角形和以O、B、C為頂點的三角形不能夠相似．

解答：解：（1）作CD⊥x軸于D，
∵點B的坐標為（4，0），
∴OB=4，
∵∠AOB=60°，
∴∠COD=30°，
∴CD=2

3

，OC=2CD=4

3

，
當時間是t秒時，PC=4-t，OQ=2t，
RC=OC-OR=4

3

-8（2

3

-3）=12（2-

3

），
∵PC∥OQ，
∴△PCR∽△QOR，
∴

PC

OQ

=

RC

OR

，
∴

4-t

2t

=

12(2- 3 )

8(2 3 -3)

，
∴解得：t=2（

3

-1），
∴P點的坐標是（2

3

，2

3

），Q（4（

3

-1），0），
設直線PQ的解析式為y=kx+b，
把P、Q兩點的坐標代入得：

2 3 =2 3 k+b 0=4( 3 -1)k+b

解得：

k=3+2 3 b=-4(3+ 3 )

，
故經(jīng)過P、Q兩點的直線的解析式是y=（3+2

3

）x-4（3+

3

）；

（2）Ⅰ、當a=1時，以O、Q、R為頂點的三角形和以O、B、C為頂點的三角形能夠相似，
理由如下：
∵AP=OQ，AP∥OQ，
∴四邊形AOQP是平行四邊形，
∴PQ∥OA∥BC，
∴當0＜t≤4時，無論t取何值，總有△OQR∽△OBC，
Ⅱ、當1＜a＜3時，以O、Q、R為頂點的三角形和以O、B、C為頂點的三角形不能夠相似，
理由如下：當1＜a＜3時，顯然PQ和BC不能平行，
如果以O、Q、R為頂點的三角形和以O、B、C為頂點的三角形相似那么∠ORQ=∠OBC，
又∵△BOC是等腰三角形，
∴△ROQ是等腰三角形，且OR=QR，
∴OR=

1 2

cos30°

=

at

3

，
同理，在等腰三角形RPC中，RC=

4-t

3

，
∵OR+RC=OC，
∴

at

3

+

4-t

3

=4-

3

，
解得：t=

8

a-1

，
∵1＜a＜3，
∴0＜a-1＜2，
∴t=

8

a-1

＞4，
由于已知t≤4，
∴當1＜a＜3時，以O、Q、R為頂點的三角形和以O、B、C為頂點的三角形不能夠相似．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)值以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性很強，難度很大．