Question

【題目】如圖，等邊的邊長為，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別從頂點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為．

（1）如圖1，連接，求經(jīng)過多少秒后，是直角三角形；

（2）如圖2，連接、交于點(diǎn)，在點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的過程中，的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．

（3）如圖3，若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線、上運(yùn)動(dòng)，直線、交于點(diǎn)，則的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）經(jīng)過秒或秒后，△PCQ是直角三角形；（2）的大小不變，是定值60°；（3）的大小不變，是定值120°．

【解析】

（1）分∠PQC＝90°和∠QPC＝90°兩種情形求解即可解決問題；
（2）證得△ABP≌△BCQ（SAS），推出∠BAP＝∠CBQ，得（定值）即可；

（3）證得△ACP≌△BAQ（SAS），推出，得即可．

解：（1）設(shè)經(jīng)過t秒后，△PCQ是直角三角形．
由題意：，，

∵是等邊三角形，

∴，

當(dāng)∠PQC＝90°時(shí)，∠QPC＝30°，
∴PC＝2CQ，
∴ ，
解得．
當(dāng)∠QPC＝90°時(shí)，∠PQC＝30°，
∴CQ＝2PC，
∴，
解得，

綜上：經(jīng)過秒或秒后，△PCQ是直角三角形．

（2）結(jié)論：∠AMQ的大小不變．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，，
∵點(diǎn)P，Q的速度相等，
∴BP＝CQ，

在△ABP和△BCQ中

∴△ABP≌△BCQ（SAS）

∴

∴

（定值）

∴的大小不變，是定值60°．

（3）結(jié)論：∠AMQ的大小不變．

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，，

∴,
∵點(diǎn)P，Q的速度相等，
∴，

在△ACP和△BAQ中

∴△ACP≌△BAQ（SAS）

∴

∴

（定值）

∴的大小不變，是定值120°．