Question

【題目】已知在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線(xiàn)為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)B在第一象限內(nèi).將Rt△OAB沿OB折疊后,點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若拋物線(xiàn)y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)C、A兩點(diǎn)，求此拋物線(xiàn)的解析式；

（3）若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與OB交于點(diǎn)D,點(diǎn)P為線(xiàn)段DB上一點(diǎn),過(guò)P作y軸的平行線(xiàn),交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M．問(wèn):是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（，3）（2）（3）存在，（ ， ）

【解析】解：（1）過(guò)C作CH⊥OA于H，

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=。

∵將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處，

∴OC=OA=，∠AOC=60°。

∴OH=，CH="3" 。

∴C的坐標(biāo)是（，3）。

（2）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)C（，3）、A（，0）兩點(diǎn)，

∴，解得。∴此拋物線(xiàn)的解析式為

（3）存在。

∵的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），即為點(diǎn)C。

MP⊥x軸，設(shè)垂足為N，PN＝t，

∵∠BOA＝300，所以ON＝

∴P（）

作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E。

把代入得： 。

∴ M（， ），E（， ）。

同理：Q（，t），D（，1）。

要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD，

即，解得： ， （舍去）。

∴ P點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）。

∴ 存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)P點(diǎn)的坐為（， ）。

（1）過(guò)C作CH⊥OA于H，根據(jù)折疊得到OC=OA=4，∠A0C=60°，求出OH和CH即可。

（2）把C（，3）、A（，0）代入得到方程組，求出方程組的解即可。

（3）如圖，根據(jù)等腰梯形的判定，只要CE＝QD即可，據(jù)此列式求解。